Gauss y la suma de los primeros 100 números naturales

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

Se denotará por S_n  a la suma a₁ + a₂ + ... + a_n

 

Se tiene entonces:

 

                           S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_n

 

Invirtiendo el orden,

 

                           S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ... + a₃ + a₂ + a₁

 

y sumando,

 

                2S_n = (a₁ + a₂) + (a₂ + a_{n - 1}) + ... + (a_{n - 1} + a₂) + (a_n + a₁)

 

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

 

                        a₁ + a_n = a₂ + a_{n - 1} = a₃ + a_{n - 2} = ... = a_n + a₁

 

Por tanto, 2 · S_n = n(a₁ + a_n), y despejando: