Hay que jugar con las mates. Números poligonales

Hoy vamos a representar a los números de forma geométrica. Si! Los números también tienen formas! Si consideramos a los números como puntos materiales, como canicas, podemos realizar con ellos configuraciones geométricas claras. Y podemos jugar con ellos!

Se llaman números figurados a aquellos números que pueden representarse mediante figuras geométricas “regulares”

Cuadrados

¿Cómo son los números cuadrados? La respuesta es de Perogrullo, y puedes verla en la siguiente imagen.

Si contamos los puntos, vemos que el primer “cuadrado” está formado por un solo punto. Para Pitágoras y su hermandad, el número 1 era el más importante. Tenemos una buena base. Si sigues sumando los puntos que hay en los próximos cuadrados obtendrás los números cuadrados 1,4,9,16,25,36,49,64, … (¿Sigue algún patrón esta secuencia de números? ¿Puedes adivinarla?)

Los números anteriores se llaman cuadrados perfectos. Observa que para pasar de un cuadrado perfecto al siguiente, únicamente se añade una “capa de puntos” en forma de L invertida. Por ejemplo 9+7=16

Montones de piedras

Vamos con los números triangulares. ¿No te recuerdan a un montón de piedras?

Al contar estos puntos obtenemos estos números: 1,3,6,10,15,21,28,36, …

Observa el patrón de construcción. ¿cómo puedes obtener un número triangular a partir del anterior? Fácil, ¿verdad? Sólo tienes que ir “sumando filas de piedras”.

Por ejemplo, ¿cual es el número triangular que va después del 10? Tendrá 5 puntos en la última fila, por tanto 10+5=15

Pensando un poco (eso es lo bonito de las matemáticas) puedes darte cuenta de que un número triangular se puede obtener sumando números naturales consecutivos (10=1+2+3+4) y un número cuadrado siempre es el producto de cualquier número natural por si mismo (el cero no juega)

Acabamos de ver que los primeros 4 números naturales suman 10. ¿Cuánto suman los primeros 8 números naturales? ¿Y los primeros 100? Esta pregunta se la hicieron en la escuela a un genio llamado Gauss cuando tenía 10 años. Lo resolvió fácilmente. Puedes verlo en el siguiente vídeo.

Conexiones

Vamos a comparar los números cuadrados con los triangulares. Quitando el 1, ¿Ves algún número que aparezca en las dos listas?

Cierto! El 36 es un número triangular y cuadrado al mismo tiempo. ¿Te atreves a encontrar otro número triangular cuadrado? Te recomiendo que uses una hoja de cálculo tipo Excel, porque es mayor que mil. Puedes dejar tu “hallazgo” en los comentarios del blog.

Hay otra conexión más hermosa. ¿Qué pasa si coges dos números triangulares sucesivos y los sumas? ¿qué obtienes? No dejes de formularte preguntas, así es como se aprende. Recuerda la importancia de jugar con las mates.

Obtendrás un cuadrado. Esto tiene su lógica. Si piensas en un cuadrado compuesto por 4 filas de 4 puntos, en el cual se ha trazado una línea diagonal. Observa en la siguiente imagen que los puntos que están encima de la línea forman un número triangular, y debajo de esta línea está el siguiente número triangular. Este funciona con cualquier cuadrado, no importa su tamaño.

Siempre se cumplirá esto: Todo número cuadrado es la suma de dos números triangulares consecutivos.

También se cumple otra verdad universal. La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado.

Eureka!!

Seguramente esta fue la expresión de júbilo del joven Gauss, cuando realizó estos descubrimientos siendo muy joven:

Celebraba haber descubierto que todo número natural es la suma, como mucho, de tres números triangulares.

Por ejemplo, el número perfecto 28 es igual a la suma de 3+10+15

También demostró que todo número natural es la suma de, como mucho, cuatro números cuadrados. Por ejemplo 30=1+4+9+16

Cuando menos resulta curioso, y se trata de un buen homenaje a Pitágoras, al que se puede considerar el padre de la Teoría de Números. A los pitagóricos les debemos el nacimiento mismo de las Matemáticas; ellos fueron los que introdujeron la idea de que los objetos matemáticos, los números y las figuras geométricas son ideas de la mente, abstracciones.

Hay que jugar con las mates

Podemos seguir “construyendo” números. Sólo hace falta un poco de visión geométrica. Es relativamente sencillo descubrir los números pentagonales:

Fíjate que el número de puntos en cada lado se va incrementando de uno en uno. ¿Te atreves a seguir la serie? Observa que ahora se van formando como un collar de puntos.

Igualmente puedes pasar un buen rato construyendo números hexagonales. Siguen esta serie numérica: 1, 6, 15, 28…

Creo que puede ser un buen ejercicio para tí o para tu hijo calcular los siguientes términos de la series de números planteadas.

Observa que todas las series numéricas que hemos visto en este artículo, son progresiones aritméticas. Tienes que ver de que forma se van formando los diferentes números, uno tras otro.

Para que puedas verlos todos juntos, te resumo las series de números poligonales que hemos visto, y te dejo un vídeo hecho con Geogebra.

Triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36

Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …

Pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, …

Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45,…

Artículo por https://soymatematicas.com/jugar-con-las-mates/

ACTIVIDADES

THE STORY OF 1

https://vimeo.com/56113926

Números poligonales

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/PitagNumPolig.gif

Relajación guiada de 3 minutos

Introduction to Sequences

Jeopardy game

Solving Rational Equations

Fibonacci Sequence Documentary

Interes Simple y Compuesto SECUNDARIA (3ºESO) matematicas

01 14 Cifras significativas, error absoluto, error relativo

EVALUACIÓN PROYECTO 1ºFPB

Cuaderno

Actividades cumpleaños: busqueda de información en internet

Operaciones con enteros: pág 9, 11, 12

Lecturas unidad 12 nutrición: pág 165 -170, y act pág 170 1-3 (video)

Diseño de la célula (video)

Pirámide de nutrición: información nutricional de un producto que hemos traído

Revisión de nuestra dieta (aporte calórico) + cálculo de TMB (pág 178)

Propiedades de las potencias: pás 20-21

Documento word en google drive: tabla de las vitaminas (pág 228-229)

Operaciones con fracciones: pág 35 y 37

Reglas de tres/porcentajes: pág 46 y 47

Dieta equilibrada (video) y diseño de un menú saludable (tabla con desayuno, almuerzo, merienda y cena, porcentajes y calorias totales)

Notación científica: pág 39
Documental SUPER SIZE ME

Rúbrica para evaluar el cuaderno de clase

Nombre: ___________________________ Bloque: ________________________ Fecha: __________________

Categoría	25 puntos	20 puntos	15 puntos	10 puntos	PUNTOS
Presentación y organización	El cuaderno del alumno presenta una muy correcta presentación en cuanto a limpieza, y claridad. La información está organizada de manera temporal	El cuaderno del alumno presenta una correcta presentación en cuanto a limpieza, y claridad. Hay algunas partes que están desordenadas	El cuaderno del alumno presenta una presentación poca correcta en cuanto a limpieza, y claridad. Hay varias partes que están desordenadas	El cuaderno del alumno presenta una incorrecta presentación en cuanto a limpieza, y claridad. El cuaderno está totalmente desordenado
Contenidos	El cuaderno presenta todo el contenido aprendido en clase, con notas con palabras del maestro, todos los ejercicios y las tareas (total 12)	El cuaderno casi siempre presenta todo el contenido aprendido en clase, con notas con palabras del maestro, todos los ejercicios y las tareas (entre 9 y 11)	En el cuaderno falta mucha información del contenido aprendido en clase, con notas con palabras del maestro, todos los ejercicios y las tareas (entre 6 y 8)	En el cuaderno hay muy poca información del contenido aprendido en clase, con notas con palabras del maestro, todos los ejercicios y las tareas (5 o menos)

Total de puntos: ________

Criterios de evaluación

1. Resuelve problemas matemáticos en situaciones cotidianas, utilizando los elementos básicos del lenguaje matemático y sus operaciones.

a) Se han identificado los distintos tipos de números y se han utilizado para interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

b) Se han realizado cálculos con eficacia, bien mediante cálculo mental o mediante algoritmos de lápiz y calculadora (física o informática).

c) Se han utilizado las TIC como fuente de búsqueda de información.

d) Se ha operado con potencias de exponente natural y entero aplicando las propiedades.

e) Se ha utilizado la notación científica para representar y operar con números muy grandes o muy pequeños.

f) Se han representado los distintos números reales sobre la recta numérica.

g) Se ha caracterizado la proporción como expresión matemática.

h) Se han comparado magnitudes estableciendo su tipo de proporcionalidad.

i) Se ha utilizado la regla de tres para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales.
j) Se ha aplicado el interés simple y compuesto en actividades cotidianas

3. Elabora menús y dietas equilibradas sencillas diferenciando los nutrientes que contienen y adaptándolos a los distintos parámetros corporales y a situaciones diversas.

a) Se ha discriminado entre el proceso de nutrición y el de alimentación.

b) Se han diferenciado los nutrientes necesarios para el mantenimiento de la salud.

c) Se ha reconocido la importancia de una buena alimentación y del ejercicio físico en el cuidado del cuerpo humano.

d) Se han relacionado las dietas con la salud, diferenciando entre las necesarias para el mantenimiento de la salud y las que pueden conducir a un menoscabo de la misma.

e) Se ha realizado el cálculo sobre balances calóricos en situaciones habituales de su entorno.

f) Se ha calculado el metabolismo basal y sus resultados se ha representado en un diagrama, estableciendo comparaciones y conclusiones.
g) Se han elaborado menús para situaciones concretas, investigando en la red las propiedades de los alimentos.

2. EVALUACIÓN DE LA MATERIA

Criterios de evaluación por bloques de contenidos

1. Resuelve problemas matemáticos en situaciones cotidianas, utilizando los elementos básicos del lenguaje matemático y sus operaciones.

a) Se han identificado los distintos tipos de números y se han utilizado para interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

b) Se han realizado cálculos con eficacia, bien mediante cálculo mental o mediante algoritmos de lápiz y calculadora (física o informática).

c) Se han utilizado las TIC como fuente de búsqueda de información.

d) Se ha operado con potencias de exponente natural y entero aplicando las propiedades.

e) Se ha utilizado la notación científica para representar y operar con números muy grandes o muy pequeños.

f) Se han representado los distintos números reales sobre la recta numérica.

g) Se ha caracterizado la proporción como expresión matemática.

h) Se han comparado magnitudes estableciendo su tipo de proporcionalidad.

i) Se ha utilizado la regla de tres para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales.

j) Se ha aplicado el interés simple y compuesto en actividades cotidianas.

2. Reconoce las instalaciones y el material de laboratorio valorándolos como recursos necesarios para la realización de las prácticas.

a) Se han identificado cada una de las técnicas experimentales que se van a realizar.

b) Se han manipulado adecuadamente los materiales instrumentales del laboratorio.

c) Se han tenido en cuenta las condiciones de higiene y seguridad para cada una de la técnicas experimentales que se van a realizar.

3. Identifica propiedades fundamentales de la materia en las diferentes formas en las que se presenta en la naturaleza, manejando sus magnitudes físicas y sus unidades fundamentales en unidades de sistema métrico decimal.

a) Se han descrito las propiedades de la materia.

b) Se han practicado cambios de unidades de longitud, masa y capacidad.

c) Se ha identificado la equivalencia entre unidades de volumen y capacidad.

d) Se han efectuado medidas en situaciones reales utilizando las unidades del sistema métrico decimal y utilizando la notación científica.

e) Se ha identificado la denominación de los cambios de estado de la materia.

f) Se han identificado con ejemplos sencillos diferentes sistemas materiales homogéneos y heterogéneos.

g) Se han identificado los diferentes estados de agregación en los que se presenta la materia utilizando modelos cinéticos para explicar los cambios de estado.

h) Se han identificado sistemas materiales relacionándolos con su estado en la naturaleza.

i) Se han reconocido los distintos estados de agregación de una sustancia dadas su temperatura de fusión y ebullición.

j) Se han establecido diferencias entre ebullición y evaporación utilizando ejemplos sencillos.

4. Utiliza el método más adecuado para la separación de componentes de mezclas sencillas relacionándolo con el proceso físico o químico en que se basa.

a) Se ha identificado y descrito lo que se considera sustancia pura y mezcla.

b) Se han establecido las diferencias fundamentales entre mezclas y compuestos.

c) Se han discriminado los procesos físicos y químicos.

d) Se han seleccionado de un listado de sustancias, las mezclas, los compuestos y los elementos químicos.

e) Se han aplicado de forma práctica diferentes separaciones de mezclas por métodos sencillos.

f) Se han descrito las características generales básicas de materiales relacionados con las profesiones, utilizando las TIC.

g) Se ha trabajado en equipo en la realización de tareas.

5. Reconoce cómo la energía está presente en los procesos naturales describiendo fenómenos simples de la vida real.

a) Se han identificado situaciones de la vida cotidiana en las que queda de manifiesto la intervención de la energía

b) Se han reconocido diferentes fuentes de energía.

c) Se han establecido grupos de fuentes de energía renovable y no renovable.

d) Se han mostrado las ventajas e inconvenientes (obtención, transporte y utilización) de las fuentes de energía renovables y no renovables, utilizando las TIC.

e) Se han aplicado cambios de unidades de la energía.

f) Se han mostrado en diferentes sistemas la conservación de la energía.

g) Se han descrito procesos relacionados con el mantenimiento del organismo y de la vida en los que se aprecia claramente el papel de la energía.

6. Localiza las estructuras anatómicas básica discriminando los sistemas o aparatos a los que pertenecen y asociándolos a las funciones que producen en el organismo.

a) Se han identificado y descrito los órganos que configuran el cuerpo humano, y se les ha asociado al sistema o aparato correspondiente.

b) Se ha relacionado cada órgano, sistema y aparato a su función y se han reseñado sus asociaciones.

c) Se ha descrito la fisiología del proceso de nutrición.

d) Se ha detallado la fisiología del proceso de excreción.

e) Se ha descrito la fisiología del proceso de reproducción.

f) Se ha detallado cómo funciona el proceso de relación.

g) Se han utilizado herramientas informáticas describir adecuadamente los aparatos y sistemas.

7. Diferencia la salud de la enfermedad, relacionando los hábitos de vida con las enfermedades más frecuentes reconociendo los principios básicos de defensa contra las mismas.

a) Se han identificado situaciones de salud y de enfermedad para las personas.

b) Se han descrito los mecanismos encargados de la defensa del organismo.

c) Se han identificado y clasificado las enfermedades infecciosas y no infecciosas más comunes en la población, y reconocido sus causas, la prevención y los tratamientos.

d) Se han relacionado los agentes que causan las enfermedades infecciosas habituales con el contagio producido.

e) Se ha entendido la acción de las vacunas, antibióticos y otras aportaciones de la ciencia médica para el tratamiento y prevención de enfermedades infecciosas.

f) Se ha reconocido el papel que tienen las campañas de vacunación en la prevención de enfermedades infecciosas describir adecuadamente los aparatos y sistemas.

g) Se ha descrito el tipo de donaciones que existen y los problemas que se producen en los trasplantes.

h) Se han reconocido situaciones de riesgo para la salud relacionadas con su entorno profesional más cercano.

i) Se han diseñado pautas de hábitos saludables relacionados con situaciones cotidianas.

8. Elabora menús y dietas equilibradas sencillas diferenciando los nutrientes que contienen y adaptándolos a los distintos parámetros corporales y a situaciones diversas.

a) Se ha discriminado entre el proceso de nutrición y el de alimentación.

b) Se han diferenciado los nutrientes necesarios para el mantenimiento de la salud.

c) Se ha reconocido la importancia de una buena alimentación y del ejercicio físico en el cuidado del cuerpo humano.

d) Se han relacionado las dietas con la salud, diferenciando entre las necesarias para el mantenimiento de la salud y las que pueden conducir a un menoscabo de la misma.

e) Se ha realizado el cálculo sobre balances calóricos en situaciones habituales de su entorno.

f) Se ha calculado el metabolismo basal y sus resultados se ha representado en un diagrama, estableciendo comparaciones y conclusiones.

g) Se han elaborado menús para situaciones concretas, investigando en la red las propiedades de los alimentos.

9. Resuelve situaciones cotidianas, utilizando expresiones algebraicas sencillas y aplicando los métodos de resolución más adecuados.

a) Se han concretado propiedades o relaciones de situaciones sencillas mediante expresiones algebraicas.

b) Se han simplificado expresiones algebraicas sencillas utilizando métodos de desarrollo y factorización.

c) Se ha conseguido resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado.

d) Se han resuelto problemas sencillos utilizando el método gráficos y las TIC.

Calificación final de cada unidad: Vendrá dada por la media ponderada de las pruebas específicas (7/10), y el trabajo del alumno/a y su actitud hacia la asignatura (3/10). Las faltas de asistencia en los días de examen se tienen que justificar por escrito para poder hacer dicha prueba al siguiente día de clase, sólo se permitirá dos exámenes en tal situación, el tercero no será calificado salvo con justificante médico. En los boletines de la primera y la segunda evaluación aparecerá la nota media truncada. La calificación final de junio del alumnado será la media de las notas exactas obtenidas en las tres evaluaciones, redondeada a las unidades.

Recuperación: Los alumnos/as con evaluación negativa en algún trimestre tendrán una recuperación de los bloques no superados en Junio. Aquellos que no obtengan una media exacta de aprobado en Junio deberán presentarse a un examen global en Septiembre.

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